Op zondag 25 februari 2007 11:10 schreef Haushofer het volgende:Ik kan wel alvast het globale idee van zo'n padintegraal geven, misschien heb je hier wat aan
Een deeltje wordt beschreven met een golffunctie, en de evolutie van die golffunctie wordt beschreven met de Schrodingervergelijking. Die vertelt je hoe een golffunctie verandert met de tijd, en linkt dit aan de hoeveelheid energie die bij die golffunctie hoort. Met deze Schrodingervergelijking kun je de zogenaamde
amplitude uitrekenen. Die geeft je informatie over de kans dat een deeltje, wat op plaats A begint, eindigt op plaats B.
Nou ken je vast het idee van superpositie wel; in sommige gevallen mag je velden of oplossingen optellen om de nieuwe oplossing te krijgen. Bijvoorbeeld bij 2 elektrische of zwaartekrachtsvelden; als ik bv 2 elektrische velden heb, dan tel ik ze bij elkaar op, en dan heb ik het totale veld. Dat mag, omdat de vergelijkingen die die velden beschrijven lineaire differentiaalvergelijkingen zijn. Dit geldt ook voor de Schrodingervergelijking: de totale amplitude is de som van de afzonderlijke amplitudes. Dit geldt niet altijd; in de algemene relativiteitstheorie bijvoorbeeld kun je dit niet meer doen, en dat maakt de theorie ontzettend ingewikkeld. Maar da's gelukkig in ons geval niet zo
Neem nou een elektronenbron, en een scherm met 2 spleten, en daarachter een fotoelekrische plaat oid. Het elektron kan door 2 spleten gaan, en volgens de quantummechanica is de amplitude van een deeltje de som van de afzonderlijke amplitudes. Dus de amplitude van het deeltje waarbij het door spleet 1 gaat, en de amplitude waarbij het door spleet 2 gaat. En die tel je op.
Nou kun je nog een scherm toevoegen met 2 spleten, en wat je dan krijgt zijn meer amplitudes. Maar ook hier geldt natuurlijk weer: tel de boel op, en verkrijg de totale amplitude. Nou kun je ook meer spleten toevoegen, en dan krijg je nog meer amplitudes, en die kun je ook weer allemaal optellen. In een vlaag van genialiteit besluit je om es heel veel schermen tussen de elektronenbron en de fotoelektrische plaat te zetten, met heel veel spleten. Namelijk:
oneindig veel schermen met
oneindig veel spleten . Dit doe je natuurlijk door een limiet te nemen, maar het idee is duidelijk: er zijn geen schermen meer; er bevindt zich niks meer tussen de bron en de plaat. Maar je moet nog wel steeds al die amplitudes bij elkaar optellen volgens het superpositie principe !
Dit vertaalt men wel eens losjes met "het elektron volgt
alle mogelijke paden als het van A naar B wil". Nou kun je met wat wiskunde een uitdrukking krijgen voor het idee om "te sommeren over alle mogelijke paden"; dit wordt een integraal, omdat je een limiet naar continuiteit neemt, maar dit is niet zomaar een integraal. Je integreert namelijk niet meer over een variabele, maar over een pad. En dat pad wordt gegeven door de Schrodingervergelijking, en hangt dus af van de tijd. Dus je integreert over functies ! En dat maakt de boel een heel stuk lastiger.
De exacte wiskundige basis om zo'n "integraal over functies" uit te rekenen is naar mijn weten nog niet helemaal formeel volledig opgesteld. Fysici zijn daar veel makkelijker in. Je krijgt vaak met oneindigheden te maken in je berekeningen wanneer je die limiet neemt, maar die termen vallen in berekeningen van fysische grootheden tegen elkaar weg ( tenminste, dat hoop je
) Daarbij blijkt de methode ontzettend veel te kunnen verklaren. Met deze methode bouw je je quantumveldentheorie op.
Het grappige is, dat je ook een quantumveldentheorie kunt opbouwen met een heel ander principe. Namelijk, via zogenaamde canonische quantisatie. Hierin zie je het veld wat een deeltje representeert als een operator, en moet je ook nog causaliteit inbouwen. Een heel ander idee dan die padintegraalmethode. Maar ze geven allebei exact dezelfde fysica. Vaak is het zo dat een probleem in het ene formalisme makkelijker is op te lossen dan in het andere.
Wat alleen wel jammer is aan de padintegraalmethode, is dat je de integraal in kwestie niet exact kunt oplossen. Wat je dan doet, is de integraal ontwikkelen in een machtreeks, en hopen dat elke volgende term in je ontwikkeling steeds kleiner wordt ( dit hangt af van de zogenaamde
koppelingsconstante ). Feynman heeft voor elk zo'n term hele aardige tekeningetjes bedacht, de zogenaamde Feynmandiagrammen. Deze reeksontwikkeling impliceert fysisch, dat er steeds meer deeltjes en antideeltjes kunnen worden gecreeerd bij een proces. Een elektron wat van A naar B gaat, kan ondertussen bv even overgaan in 2 fotonen. En daarbij kunnen weer elektronen en positronen worden gemaakt. Enzovoort. Je kunt je voorstellen dat bij dergelijke ideeen al heel snel oneindigheden kunnen opduiken, omdat je oneindig veel termen krijgt in je ontwikkeling
Pfoeh, heel verhaal, hoop dat je er wat wijzer van kunt worden